Le paradoxe des anniversaires

Dans un groupe de 57 personnes, la probabilité pour que deux personnes aient leur anniversaire le même jour est de 99 %.

Ce chiffre est paradoxal, car il contredit l’intuition : on pense qu’il faut au moins 300 personnes pour avoir une probabilité élevée, car dans l’année il y a 365 jours (sans tenir compte des années bissextiles).

La confusion vient de ce que les gens évaluent les chances qu’une personne du groupe soit née à une date précise (par exemple le même jour qu’eux). Sur 57 personnes, ces chances sont faibles (elles sont de 14 %).

En réalité, la question posée n’est pas : "quelle est la probabilité pour qu’une personne du groupe soit née le même jour qu’une personne choisie à l’avance", mais "est-ce que l’une de ces personnes a un anniversaire commun avec n’importe quelle autre personne du groupe".

Un raisonnement possible pour évaluer le problème est :
 dans un groupe de 2 personnes, il y a 1 paire d’anniversaires
 dans un groupe de 3 personnes, il y a 3 paires d’anniversaires
 dans un groupe de 4 personnes, il y a 6 paires d’anniversaires
...
 dans un groupe de X personnes, il y a X*(X-1)/2 paires d’anniversaires
 dans un groupe de 57 personnes, il y a 57*56/2= 1596 paires d’anniversaires, ce qui est largement supérieur aux 365 dates possibles de l’année : la probabilité de trouver 57 personnes qui ont toutes une date de naissance différente est extrêmement faible.